幾何図形の楽しさ

気付かされた「美の世界」！

　（丸＝circle）や（三角＝triangle）や（四角＝square, rectangle,quadrangle）なんていう、まるで味気ない造形のどこが面白いのか？　かつてそんなふうに思っていた私の蒙を啓いてくださったのが、阿部 恒（Abe Hisashi）さんでした。
　かくしてその後私は、大いに楽しく勉強したんですよ。そしてその結果は…。

（丸）は、立体化して考えれば、最高の造形（球＝ball,globe,sphere）の探求へとくふうを楽しませてくれる。
　そもそも（丸）は（円＝ring）で、数字の（ゼロ＝zero）だ。ゼロは無だが、整数に付けて置かれた場所で大事な意味を有する。
　円も空っぽで何も無いが、内と外を分ける。そして（円）には、起点も終点も無い。融通無碍（ゆうずうむげ）だ。

（三角）は、純粋な幾何学の基本に繋がり、やがてそこから（多面体＝polyhedron）なんていう、興味深い造形世界へも導いてくれる。

（四角）は、私の心を鷲掴みにした（キューブ＝cube）へと誘なってくれる。

「幾何図形は、よく見れば実に美しくそして楽しい。」ーそして私がとくに魅了され、ライフワークとも思い定めた図形こそ、「立方体（＝cube）」でした。
　立方体＝キューブは、私に２次元〜４次元までくふうの夢を叶えてくれた！

　さて前項では、（６本のテープ編み）での「サッカーボール」を楽しみました。そこでこの（６）の半数の（３本のテープ）で、ゆったりと編んでみますと、それは「球＝ボール」になりましたね。（４本編み）もまたしかり。

　で次に、それらに折り目を付けてみましたところ、（３本編み）は「斜立方８面体＝rhombicuboctahedron」と言う、何とも奇妙な名前の幾何図形となりました。（準正多面体）の一つです。
　そして（４本編み）は「角切り８面体（＝truncated octahedron）」という名の、やはり（準正多面体）となりました。（写真）
　前項の場合同様、穴は塞がっていると考えて。

　３本編み球は「斜立方８面体」に。４本編み球は
「角切り８面体」という名の、どちらも（準正多面体）
の仲間となっています。　　　　　　　　　　　　

　５種しか無い（正多面体）のことは、もう既に詳しく解説済みですね。で、この（５種の幾何図形）に、ある種の規則的な操作を加えて得られた（１３種の図形）が考えられていますが、それを（準正多面体）と言います。　興味のある人は図形の解説書を見てね。

　さて、６本編み、３本編み、４本編みと見たところで、次は（５本編み）ですね。それは次の写真です。

５本編み球もきれいな姿で、私は
好きですが、これは幾何図形の仲間　
にはなりません。でもそんなことど　
うでもいいですね。　　　　　　　　
　　写真には見えてはいませんが（５角　
　　　　形の穴）が二つあります。　　　　　　　　　

大好きな造形

加賀前田家伝承「紅入れ」

　これは確か阿部恒さんから教えてもらったものですが、実に見事な造形のおりがみ作品です。「紅入れ」とは、女の人が唇に塗る紅（べに）の容れ物として、当時は実用だったであろう、おりがみ作品です。
　赤いおり紙で折ると効果的です。これを現在に活かすために阿部さんのアイデアから、「ティシュ・ケース」などと見立て直していますが、私は「シールとか切手の入れもの」なんていうのもいいかな？なんて思っています。いやそれより「お年玉袋」がいい！

　さて写真でご覧いただくと分かるように、この作品造形の（赤）と（白）の面積が、表裏共に（１：１）なんですね。

左が表の形で、右が裏です。ねっ！どちらも赤：白＝１：１。

　いやいや、実は私がさらに大好きな造形とは、完成前の次の写真のような形で、…私の幼稚性は、このように白い正方形が連なっている造形に、無心に惹かれるのです？！
　そして、この白い正方形を数えると、それは（４）で、この数字は辺の等分数を示しています。

正方形の団子が４つ！

　ばかみたいな視点でしょう！　でもね、私の発想はそんな幼稚な好奇心から始まるのですよ。つまり、これが（４等分）なら、（３等分）は？　また（５等分）（６等分）は？
　そしてそんな造形を並べて楽しむのです。…とそこに、新たな思案が生まれます。すなわち（３）（４）（６）は楽に折れるが（５）はどうやったらいいのだろう？の思案なんですね。

　また（８等分）のものも実にやさしく折れますが、はて「（６）と（８）の間の（７等分）はどうやったらいい？」
　でも思い出してください。私の工夫のコツとは「思案は“中間に在り”」でしたでしょう。かくてイメージは湧きましたが、でも折りの実際は？

左から（３）（４）（５）（６）（７）（８）の等分形。
さてこの形、白い正方形を数えれば、それが何等分かが解る。

　ここに（幅がきっちり３cmの、プラスチック定規）が有ります。すると、１５cm角の一般的なおり紙を、（５等分）するなら、１５cm÷５＝３cmとて、このプラスチック定規を使えば、５等分が楽々出来ますね。（１００円ショップで売っている短い定規ー写真のものーが、きっちり幅３cmです。）

幅３cmのプラスチック定規

　しかし、次の（７等分）は、１５cm÷７＝2.1428…とて、どうもうまくありません。が、ここで、１５cmのおり紙の、（対角線）の長さを測ってみると、これがほぼ（２１cm）なんです。で、対角線を折って、そこに３cmの定規で印を（２方向）から付けると、いとも簡単に（７等分）が出来るのですね。

左が（７等分）、右が（５等分）。
右の長い定規も、幅きっちり３cmです。

「はながたつつみ」？

フレーベルを知る前に

　先日実に久しぶりに、古い著作の掲載作品につき、読者から問い合わせがありました。それは、「おりがみ　むしとはな　有紀書房　昭和４５年（１９７０）刊」の中に紹介していた「はながたつつみ」についてのものでした。

「はながたつつみ」？…？…？

　はるか昔に書いたこの本は、…正直な話をすれば、結婚し独立して生活を始めた頃の作業で、折り図はもちろん、表紙の絵から作品写真まで自分で撮ったもので、まるまる一冊でいくら、として売り渡したものでした。（要するに、当時まだ駆出しの私には、交渉力も契約に関する知識も乏しかったのです。）

　ともかくこのようなスタイルで、…まあ、２、３ヶ月に１冊書けば、生活が成り立つかも知れないと考えて始めたわけです。

　そしてそんなスタイルでの生活が、数年続けられました。そこで、いつも「今度はどんなテーマで？」というような次のプランに思考は向けられていました。

　かくて、結局１０余冊の非印税出版を続けました。でも、とにかく（本好き人間）とて、売り渡しであってもそれなりに楽しんで作業したことです。それに大事なことは、本は（記録）として残るわけですし、そして今回のように、何十年経っても読者と繋がっていられるということです。
（なお、著述を職業と決めるその前に、久保書店、日貿出版の２社は、お願いするまでもなく、きっちりと印税契約をしてくれました。）

　しかし、やがて気持ちにも少し意欲が出たところから、私なりの（おりがみ理念）もはっきりと主張すべく、そのためには責任も明確にとて、結構ハードな交渉をしなければならない場合もあったものの、ともかく決心してからは、印税契約の作業だけをするようになったのです。

　ともあれそんな経緯のため、心理において、売り渡して刊行されたもののことは、だんだんと記憶は薄れ、そして…今回のように問い合わせがあったときにやっと見直します。

　だからこの著書を見るのは、何十年か振りでした。そして開いてみて、懐かしい思い出が思い出されたのですが、なんとそこには、内山光弘さんの「花紋折り」のことを記しており、それに倣うような気持ちからでしょうか、「はながたつつみ」などと名付けた私なりの「畳紙（たとうがみ）スタイルの作例」を紹介していたのです。　でも本当に記憶から消えていたものなんですよ。

　さてそんな経緯で思い出した「花形包み（はながたつつみ）」ですが、改めて見るに、かなり拙い思案のものでした。
　そして今にしてじっくりと思い返せば、この頃の私はフレーベルの「美麗式（Beautiful System）」のことは、よく知らなかったか、あるいはまったく興味が無かったかのように思っています。

　私が「美麗式」に関心を持ったのは、昭和６０年（１９８５）の頃、かつて小学校の校長をなさっておられ、そのご経歴から独自におりがみ史を調べておられた林正之（はやし まさゆき）先生のお声がかりで、玉川学園教育博物館との繋がりが生まれたとき、フレーベルのことをいろいろと学ぶ機会が訪れました。
　そして、（おりがみ実技）の中心に在るのが「美麗式」だと知ったことによります。

　で、すぐに「最新折り紙小百科　日本文芸社　昭和６３年（１９８８）刊」に、新しく知った（６２点）の「美麗式」を紹介しました。
　そしてこの頃、上記博物館でもご一緒していた高濱利惠さんも、時を同じくしてこれを紹介するご著書を刊行なさいました。正に切磋琢磨（せっさたくま）する同志でした！

　まあかくのごとくにて、私の（パターンおりがみ）の最初の、わずか１１点の作業「花形包み」に（拙過ぎる）ものを外し、現在の視点にて付け足したもので（２０点）とし、写真紹介します。

　このような造形変化は、正にフレーベルが「美麗式」に込めた理念通り、（“１折り”の違いが、大きくイメージの異なるパターンとなり、こどもにも“くふうの喜びの実際”を味わわせる！）でして、容易に、楽しく、どんどんと増やして行けるものなんです。

１１種のパターンだけのものから、２０種
に拡大してみました。これらは全部「入れ物」
になっています。つまり「花形包み」です。　
　　なおこの折り方には（左回り）と（右回り）　
　がパターンの違いを生み、それがまた楽しい！　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　

要素の数に合わせて

キューブの（３要素）の数

　前項で言いました通り、キューブの（要素）はその数がはっきりしていますから、それに（ユニットの数を一致させる）という考えは、必然的なテーマですね。で、…

「キューブ」は別名「正６面体」ですから、（面の数＝６）です。次に（辺の数＝12）、（頂点の数＝８）ですね。そこでこれらキューブの（要素）の数に合わせての、ユニット作例をご紹介しましょう。

　ところで前に阿部さんの推薦図書として「高木貞治（たかぎ　ていじ）著　数学小景
岩波書店」という名著に触れましたが、その中に、この（面＝Face）と（辺＝Edge）と
（頂点＝Vertex）との間に在る法則を示した「オイラー（＝Leonhard Euler）の多面体定理」についての、とても楽しい解説があります。
　結論だけを示すと、…３種の（要素）の間には、…

V（頂点）＋F（面）＝ E（辺）＋２　（高木先生は、点はt、面はm、辺はh、で説明！）

　という関係式が成り立つというものです。ところで痛快なのはその証明で、（多面体）をゴムで出来た球体のように考えて、…いや、門外漢の説明など止しまして、…この定理の証明が、近代数学の一つ、「トポロジー（Topology＝位相幾何学）」の出発点となったと言われている、という事実のみ紹介させていただきます。　ほら！『ドーナツとコーヒーカップとは、“穴が一つ空いた図形”で等しいもの。』そんな考え方をする幾何学ですね。

　なおこれまた自慢話に繋がりますが、『この「トポロジーの考えからの一つの発展としての“カタストロフィー理論”という思考」を、日本に最初に紹介された数学者だよ』と、阿部さんに教えられた、早稲田大学の野口宏教授がおられますが、この野口先生は、一方で「あやとり」の著名な研究者でもあられ、…こちらでの関係で、この野口先生と、当時サンリオにおられた阿部恒さん、…そして数年間、ピポ社で一緒に働いた同僚で親友の、ペーパークラフトなどに見事な才能をお持ちのデザイナー小杉恵子さんと私との四人は、サンリオが創刊した「あそびの国」という楽しい雑誌の編集のために、毎月１回集まったものです。　こんな幸運が確か２年ほど続きました。

　まあこの編集会議も楽しかったものですが、終わった後の（呑み会）が、まあ至福のとき！　山国生まれの私が、刺身の真の旨さを教えられたのもこのときでした。
　マグロもサバもヒラメもアジも、タイもイワシも、海の魚はまったく知りませんでしたので、お寿司が美味しいものだと知ったのは、３０歳も半ば過ぎてからですが、…まあ、その美味しいと思うものは、イカ、タコ、エビ、それに赤身のマグロに平貝ぐらいで、コハダやウニやトロなどがおいしいと思うようになったのは、…そう、この頃以降のこと。

　そしてこの呑み会で、（白いカレイのエンガワ）とか、（桜色したイワシのお刺身）の初めて知るおいしさには、声をあげるほどの感動でした。
　昔、長野県で知る魚は、鯉、フナ、ワカサギ、…うなぎ、など淡水魚で、海のものは「塩イカ」？…海の無い県としては、イカは生ではなく、塩漬けの真っ白い保存用のものだけでした。（これがまた独特のおいしさのものでした。）　まあ現代の方にはきっと想像もできないでしょうが、…私のこども時代はそんなでした。
　あっそれから、フグのおいしさを教えてくれたのは、佐世保市に居られた頃の川崎敏和さんです。（それは、確か私はまだ４０代半ばの、煩悩多きときだったか？）

　あれあれともかく、この頃の経験と毎日は、我が人生の絶頂期のものだったようです。…失礼、本題に戻りましょう。

　さて前項では「要素は４つ在る」と言いましたが、（中心）は、それって一つしか在りませんから、数に合わせたユニットにはなりませんので、ここでは用いられませんね。

　でもこの（中心）からの発想は、他の要素に関連付けると、いろいろと考えることは出来て、とても楽しいテーマでしょう。
　ともあれ、「キューブ」という一つのテーマがどんどんと広がって行く様をご覧いただくと、私がこの探求をライフ・ワークにしたこと、きっとご理解いただけるでしょうね。

左から、「面数６に合わせての６ユニット組みキューブ」
中央が「辺数１２に合わせての１２ユニット組みキューブ」
そして右が「頂点数８に合わせての８ユニット組みキューブ」
そしてここでの自慢は、このユニットの折り方が、ほぼ全て同じ
ということ！

これは（一つしかない中心）を
６つに分けて、外側に引き出す
という思案での作例。　　　　
「菱形１２面体」とでも呼ぶ？
　なおここでの使用ユニット数は　
辺の数に等しい１２枚です。　

キューブの４要素から

（面）、（稜＝辺）、（角＝頂点）そして（中心）

　これは「正多面体５種」について言えることですが、おりがみで正多面体を考えるとき
には、常に上記の（４つの要素）からの（くふう）を思い描くことが出来ます。

　さてそこで、私のライフワークの「キューブ」について、そんな視点からくふうしてみた４種の作例をご紹介してみましょう。（写真１）

写真１
左から右へ向かって「面からのくふう」「辺からのくふう」
「頂点からのくふう」そして「中心からのくふう」の４つの　
キューブたちです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　さて（写真１）と同じような視点からのもので、もう少し（装飾性）を高めてみたものを（写真２）に紹介します。この中で、一つしか無い（中心）は、これを１２に分けて、

（辺での角度）として表現してみたものです。
　なおここでは（要素の数）は考慮せず、自由気ままにやってみました。でも、（数）に意識を向けてみるのも楽しいもので、具体的には、面の数６に合わせ６ユニット、辺の数１２に合わせ１２ユニット、頂点の数８に合わせ８ユニット、で考えるわけです。
　で、そのことは次の項で見てみましょう。

写真２
右奥のものは、「辺で構成された１２枚組みの
キューブ」ですが、頂点から対角の位置にある
頂点を結ぶ４本の対角線の交点が、中心です。

フレーベルの「びれいしき」

ビューティフル・システム

　幼稚園教育の創始者、ドイツのフレーベルが創案し、そして規定した２０種の教材の中に、「紙を折る＝おりがみ」が含まれています。そしてその代表的な実際例としてよく知られているのが、「美の形式（Beautiful System）＝美麗式（びれいしき＝明治時代のちょっと奇妙な訳語）」です。

　この「美麗式」に魅せられ、「工夫と発見が楽しい！　フレーベルに学ぶ　模様折り紙　日貿出版社　２０１５年刊」を著されたのが、沖縄の島袋保子さんです。
　島袋さんがこのご著書の表題に示されている通りに、フレーベルの「美麗式」は美しい（おりがみのパターン）が、（工夫と発見）を大人だけでなく幼児までにも促してくれるものなんです。
　きわめて容易な（ざぶとん折り）や（かざぐるまの原型）を、（表裏で色が異なる“おりがみ”）にて、ほんの３、４の折りの変化を施したり、複数を組み合わせたりすることで、それが思いもよらぬ美しく楽しいパターン変化を生みますから、…そこで（工夫と発見）となるのですね。それは幼児は元より大人にとっても、童心に還えれるたまらない魅力ですよね。島袋さんの（“ビューティフルおりがみ”復興活動）に喝采を！

　ともあれおりがみを（幼児教材）にした、これは正にフレーベルの慧眼です。

「美麗式」そのパターンのほんの一例

沖縄にお呼び頂いたとき、こんな大迫力の（美麗式）の屏風を
共同制作されて歓迎していただきました。これほどの感激を味
わわせていただいた経験は、滅多にないものでした！忘れられ
ない美しい思い出です。　　　　　　　　　　　　　　　　　

回転折り（コンパス折り）

（円）へ繋がる！思案

（折る）という行為は、原則的には「紙に（直線）を作図すること」とも考えられます。ところがこの直線作図行為が、ちょっとしたくふうで（曲線的な印象）を生み出すことになります。こんな課題は前にも記述しましたが、ここではまたちょっと視点を変えての話です。

（写真１）の左上の図を見ていただきながら説明すると、辺に平行な等分割線の折り目を付けたら、次にその等分割線と反対の折り目（谷折り⇄山折り）を、等分割の細長い長方形のひとつの（対角線）として、そのすべてを（平行）に付けます。するとそこに、用紙の中央を中心として、（コンパスで円を描く）ような現象が起こります。
　写真の左上から右へ移っての形がその結果の造形です。ねっ、紙の縁が曲線的になっているでしょう。　この形は、二つ折りして「二枚貝」とか「草」とか「木の葉」などの一般的な作例へと仕立てられるでしょう。

　さて次に、用紙形を正方形から（長方形）や（台形）に変えて、その形に同じような折り線を施してみますと、…ここには曲線的な造形と共に、対角線の付け方で（“左右”の造形の相違）という現象が起こります。これはとても面白く楽しい発見でした。
　とくに下中央の形からは、実に面白い「お皿」が出来ますから、考えてみてください。

写真１　右側の２形では、平行線ではない折り目を付けてみたもの。

　さて、こんな発見をさらに推し進めてみました。（写真２）をご覧ください。ここでは正方形の半分（１：２の長方形）で、写真１での試みと同じ折り線構造で、今度はその分割比を変えての造形変化を見てみましたところ、なんと！、それは美しい紙の表裏でのツートンカラーの（円形）イメージを生む造形となりました。そして次にそれを（半開き）の状態へと引き離してみると、そこに（螺旋形）が生じます。
　ところで（円形）と見える造形の場合よりも、その分割数の荒いもの（左側の５等分のもの）では、（正多角形→正８角形）が、そしてその下の（６等分では正１０角形）と見えるものが現れていますね。…で、ここから思案を広げてみたものが、（写真３）の発見へと繋がったわけです。

写真２　「円形への思案」が！

　まあ上記のような考察の結果、私は新しい「正多角形の作図法（写真３）」を発見し、その昔、たまたまドイツにお呼ばれした折に、おりがみの同志の方たちにこんな発見の発表をさせていただき、皆さんから実に嬉しい喝采を得たのでした。
　なおそこで自慢させてもらったことは、定木とコンパスという（幾何図形の作図において、その使用を許された二つの器具を使用しても、“作図不可能図形”）とされた、（正７角形）や（正９角形）、（正１１角形）や（正１３角形）…などまでも（同じ要領で）描けることを発見したわけです。そうなんです！　それこそ鼻を高く出来る自慢の発見でした。
　で、この折り方手法にはコンパス折りより（回転折り）の方が似合うかな？と思い、そんな命名をしました。
　指で折れる限界あたりの（正２３角形）まで折ってみましたが、…もうこれはほとんど（円）の印象ですね。

写真３　正３角形から正２３角形までの２１形

　ともあれ、（おりがみ遊び）に惹き付けられるのは、こんな楽しい発見が、教育者でも学者でも無い身にもやれるからでしょうね。
　いえそう言うより、専門家ではないから逆に常識に捉われず、（近似解）で充分満足！と、自由気ままが出来るからなんでしょうね。（この具体的な作図法は、「おりがみ新発見１　日貿出版社　２００５年刊」にて紹介しました。）

面白い「お皿」
（写真１）の解説からの造形

正多面体の話（その２）

キューブの中の、他の４つの正多面体

　新しい年のスタートは、私がライフワークと決めた（キューブの探求）の話からしようと思います。

　全５種の（正多面体）の、（その相互の１対１での入れ子関係）は、全部で２０通りの組み合わせが考えられますが、その中から（キューブの中の、他の４種の正多面体との関係）の姿を「おりがみ遊面体（既紹介）」から紹介します。

（写真１）に４つ並んだキューブは、すべて（割れるように）なっています。そこで割ってみたものが、（写真２）です。
ねっ！「幾何立体図形」って楽しいでしょう！そして「キューブ」って面白いでしょう！
　おやまあ、スタートから賛辞の強要ですね！

写真１

写真２
　　左手前から「キューブの中の正２０面体」、「キューブ
の中の正１２面体」、「キューブの中の正８面体」、そし
て一番奥は「キューブの中の正４面体」。なおこの最後の
ものは、著名なデザイナー故福田繁雄さんの作品として学
んだことがあったもので、実はこの（正４面体）を割ると
そこに（正８面体）が現れるものですが、ここではそれを
分離してみたわけです。　　　　　　　　　　　　　　　
ともあれ、こういう造形物は、その（展開図）がこれま
た楽しいものなんですよ。　　　　　　　　　　　　　　

正多面体の話（その１）

阿部さん推奨の本

　阿部恒さんにその昔、正多面体のことをお尋ねしたところ、『高木貞治という数学者が書いた（数学小景　岩波書店　1943年初販　1981年改訂版）というのを読んでごらん。』と言われて読みました。名著で、面白くて一気に読みました。

　ここでは、いくつかの楽しい図形パズル問題の解説と共に、「多面体」という幾何図形のことが、いかにも明瞭に、そして洒脱な文章にて解説されていました。
　どうか皆さんもこの名著、少なくとも「正多面体」及び「図形パズル」にご興味のある方は、ご一読あられんことを！　難しい数式など出てきません。

　ところでここで「正多面体」の話を始めると、そこには「キューブ」が含まれるので、ついつい話は長くなります。　で、今回は総括的な正多面体の紹介だけに留めましょう。そこでまずはともかく、「正多面体とは何か？」の定義から見て行きましょう。

（正多面体の定義）
　それぞれが合同（＝同じ大きさ）の１種類の（正多角形）から構成される凸型立体で、頂点部分の状態が全て等しい（＝同じ数が集まった）図形は、全部で５種類だけが有り、それを（正多面体）と言う。そしてその５種類は次の通り。
（正３角形）から出来る「正多面体」は次の３種
頂点部に正３角形が（３つ）集まったもの→「正４面体」
頂点部に正３角形が（４つ）集まったもの→「正８面体」
頂点部に正３角形が（５つ）集まったもの→「正２０面体」
　正３角形の一つの角は（６０度）だから、（６つ）集まれば６０度×６＝３６０度で、平面になってしまい、立体になれないので、上限は５となる。

　正多角形の正３角形の次の（正４角形＝正方形）で考えると、
頂点部に正方形が（３つ）集まったもの→「正６面体＝立方体＝キューブ」
　正方形の一つの角は（９０度）だから、（４つ）は９０度×４＝３６０度で平面とて、上限は３となる。
　正多角形で正方形の次は（正５角形）で、その一つの角は（１０８度）だから（３つ）集まったもの→「正１２面体」
　４つは１０８度×４＝４３２度で無理と分かり、結局上記の５種類だけとなる。

　おっと、言うまでも無く高木先生は、こんな無味乾燥の説明ではなく、実に魅力的な解説をなさっておられ、そのユーモアに溢れた文章に、思わずくすっとなりますよ。

　ともあれ、おりがみに熱中して１０年くらい経った頃、阿部さんと会え、そこから「おりがみと幾何学との実に楽しい結び付き」を教えてもらって、上記のような（正多面体）などのくふうに夢中にさせられたわけで、その頃を思い出すとふっと笑顔になります。
　かくてその頃楽しくくふうした（おりがみ正多面体）を写真紹介してみましょう。

おりがみの「正多面体」全５種

それからずっと後での、正多面体の楽しいくふう

紙工作での（入れ子細工）の「正多面体」

正４面体→立方体→正８面体

正８面体→正１２面体

正１２面体→正２０面体

（入れ子細工）の正多面体は、サンリオの（ビバ！おりがみシリーズⅤ）として、１９９２年に、横浜国立大学の松本久志先生の監修をいただいて「おりがみ遊面体」として上梓しました。
　おりがみと題しましたが、内容は（紙工作）でした。ただし、（おりがみ）の表題にしたことは、その紙工作の展開図の作図を「おりがみを折ることで、角度や寸法を割り出したので、おりがみと題することに躊躇はなかった」のですが、…書店ではあまり売れませんでした。
　しかし関係者の評価は高く、（多面体）の名を（遊面体）としてくださったのは、装丁をしてくださったデザイナー氏の高評価からのご厚意でして、この題名に大喝采してくださった、イタリア在住であられた物理学者の藤田文章先生は「Origami Play-hedron」というおしゃれな英訳名を考えてくださいました。これは多面体のことを英語で（Poly-hedron)といいますが、そのPoly（多数の）の語を、Play（遊ぶ）にしてくださったのでした。
　でも残念ながら、再版には遠く及ばず、この英語のタイトルを使わせていただくことはありませんでした。
　住まいの近くの書店で、これが並んでいるのを見たときは、すごく嬉しかったものの、いつまでも売れないで、汚れ防止のためか、やがてビニール袋に入れられてしまったことでした！
　この頃、美しい女性のヌード写真の本が、立ち見されるのを防止するためにビニール袋に入れられて、これを世間では（ビニ本）と称しました。　かくて私は「とうとうビニ本の著者となってしまった！」などとボヤいたものでした。でもこれ、美しい女性のヌード本と同じくらい楽しい、感激の一書だと自負し確信しています。
　でもまあ悲しいことに、この近くの書店も、そしてこの本も、遠の昔に無くなっていますがね。

サイコロ、すなわちキューブの魅力

　キューブの六つの面に、１〜６までの数を示したものがサイコロですが、その場合、背合わせ面の数字は、足すと（７）になっています。そのスタートの数字の組み合わせのことから、それを「一天地六」と言っています。やくざ映画なんかで聞く言葉ですね。

『お豆腐は、賽の目（小さな立方体の形）に切って。』料理場で聞く言葉ですね。

「ぞろ目」に「丁半（偶数、奇数）」どちらも２つのサイコロの目の出方を指す言葉。これは時代劇での常用語ですかね。

『賽（サイコロ、采配のこと）は投じられた。』シーザーがルビコン川を渡るときの決断の言葉だそうですが、…左様にサイコロは昔から在り、そして身近なものです。

　ところで３０年近く前、２枚のユニットで、その表面の色の部分が、紙裏面に１〜６までと増えて行くように成って現れ、加えて天地の面の合計が７となるようなものが出来たときは、自分でも驚喜したものでした。（この“おりがみサイコロ”の折り方は、昨年３０年ぶりに復刻出版していただいた「折り紙百科　日貿出版社」に載っています。）

　さて私のおりがみでのライフワークのテーマは「キューブの探求」とは、諸所で言って来たことですが、実は亨保１９（１７３４）年の「欄間図式」という最古級資料の中に、「玉手箱」と題したキューブの作例が、完成形のみのイラストで示されています。その折り方に関しましては、本多功氏が昭和の初期に出版された著書の中に３種のスタイルで図解紹介されております。かくしてこのことは、伝承の証言とでも言えるでしょう。

　ともあれこの資料を見るに、キューブの魅力の探求は、古くして新しい課題と言えるようです。

　　　　　　　　　　　　画面には（１）（２）（３）が見える。

おりがみダイス（２枚組みのユニット式）

最古級の資料「欄間図式」

キューブの断層
（ここには、正方形、正６角形、菱形、シルバー矩形、の４つの図形が示されます。）

直線の折り目で、曲線・曲面を表現！

直線、曲線、曲面

「紙を折る」という、なんでもない行為に、論理的な視点を当ててみるとき、それは（紙の上に“直線”を作図する）ことに他なりません。…ところが、こんな直線作図の行為が、思いもしない結果をもたらせてくれます。

　それはすなわち、直線を折ることで、そこに（曲線）や（曲面）を生むという現実があるのです。こんな現実の是非を論じても意味はないかも知れませんが、でも（折る）という行為は、単純なものではないのだ、とだけは言いたいですね。

　とくに昨今は学者の先生方の、私などは思いも寄らない科学的な視点から、「細胞膜に自動的な折りたたみをさせる！」だとか、「衝撃に強いダンボールのおりがみ防災ヘルメット」だとか、…まあ、ただびっくりして、そして嬉しくなってそんなテレビの映像を見ています。

　あ、そうそう。下の写真の美しい曲線は、スペインの天才建築家アントニ・ガウディが実際に作業に当たる職人さんたちに、イメージした（曲線・曲面）を、具体的に伝達するための（道具）に、これと似た思案のものがあったそうです。

ミニチュア・ボックスの「天女」
直線を折っただけなのに曲線が！

また見つけた “１１” ！

また見付けた「キューブ “１１” の不思議」

　最近はもうあまり “おりがみ” をやらなくなりましたが、「キューブ」だけは例外で、今でもときどきくふうを楽しんでいます。…そんな中で先日、池上彰さんのＴＶ番組で、宗教の解説をしておられるのを見ていたら、『イスラム教の信者は、一生に一度はメッカに巡礼しなくてはならないが、そのメッカでは（カーバ神殿）を訪れることなのですが、その（カーバ＝Ｋａａｂａ）というアラビア語の意味は、（立方体）ということです。』と伺い、とても驚きました。

　といいますのも、私はこれまでいくつもの著書の中で、「キューブ（Ｃｕｂｅ）＝立方体」の探求は私のライフ・ワークですと公言して来ましたから…もしも、間違って曲解されて、（カーバ）の探求者か？…愚かな私のバカな被害妄想を思ったりしてしまいましたが、でもともかくどうしたって、「キューブは素晴らしいテーマです！」

　さて、その「キューブ」で、（８つのパーツを組んでキューブ型にし、それを下からポン！と打つと、それがバラバラに解けて飛び散ることから「キューブの花火」と題した作例をくふうし、紹介したことがあります。

　でも実は、これは昔ドイツのおりがみ仲間を訪問した折に、（１２枚の“ふうせんの基本形”）を組んで、それを下からポーンと打ってバラバラにする！との、実に見事なおりがみアイデアを教えられ、…それって確か「蝶の舞い」といった作品名だったと記憶していますが、…ただこの（１２枚の組み方）が、すごく組み難かったので、…これをもう少し組み易く出来ないか？…の思いからくふうしたものです。

　いや、前置きが長くなってしまいましたが、…この（８枚組み）のキューブの形を（２色）で組むとし、結果、その２色が「等しい表面積で同じ形を示すような組み方は、全部で何通りあるか？」との問題を思い付き、…やってみましたら、それが（１１通り）という答えになったのでした。

（キューブの平面展開図が“１１通り” ）とあいまって、「 “１１” は、キューブと深く繋がっているのかも知れない？！…なんて思ったりして。

１１の解答の中の、３例

「キューブの花火」１１種の（同形）２色組み